Álgebra Lineal Avanzada

1. Sistemas de ecuaciones

• Eliminación Gaussiana
• Formas fila-echelon
• Descomposición LU
• Inversa de una matriz
• Pseudo-inversa de una matriz

Capítulos 1 y 2 de Strang, o capítulos 1 y 2 de Lay.

2. Soluciones prácticas de sistemas lineales

• Pivotado parcial.
• Número de condicionamiento y estabilidad.
• Sistemas mal-acondicionados

Capítulos 3.8 y 6.4 de Nobel y Daniel, Capítulo 7.1 y 7.2 de Strang, o Capítulo 9 de Strang.

3. Espacios vectoriales

• Ejemplos, fundamentos de sub-espacios de una matriz

Capítulos 2, 3 y 4.1 de Strang, capítulo 4 de Lay, o capítulo 1 de Axler.

4. Teoría de dimensión

• Independencia lineal
• Vectores base
• “Rank”

Capítulos 2.1-2.3, 3.4 de Strang, capítulo 1.6 y 4.3-4.6 de Lay, o capítulo 2 de Axler.

5. Transformaciones lineales

• Representación matricial
• Cambio de base
• Teoreoma de Cayley-Hamilton

Capítulos 3, 7-9 de Axler, capítulo 6 y 9.2 de Nobel y Daniel, o capítulo 7 de Strang y capítulo 2.4 de Horn y Johnson.

6. Valores y vectores propios

• Polinomio característico
• Similitud
• Determinantes

Capítulos 5, 8, y 9 de Axler, capítulo 5 de Strang, capítulo 1 de Horn y Johnson, capítulo 6 de Strang (ILA), o capítulo 5.1-5.5 y 7.1 de Lay. Para determinantes, capítulo 4 y 5 de Strang, capítulo 10 de Axler, o capítulo 3 de Lay.

7. Espacios de productos internos

• Normas de vectores y matrices.
• Productos internos.
• Productos cruz (y equivalencia skew simétrica)

Capítulos 6 y 7 de Axler, capítulo 5.6-5.9 de Nobel y Daniel o capítulos 3.1-3.4, 3.6, y 5.5 de Strang.

8. Clases de matrices

• Hermitiana o auto-adjunta.
• Simétrica.
• Normal.
• Unitaria.
• Definida positiva.
• Hesiana

Capítulo 7 de Axler y capítulo 2, 4, y 7 de Horn y Johnson, o capítulo 4.4 y 4.6 de Strang.

9. Descomposición de matrices

• Schur.
• QR.
• Valor singular.
• Polar.
• Mínimos cuadrados e inversas generalizadas

Capítulos 5.8-5.9, 7.5, y 8 de Nobel y Daniel, o capítulos 3.3, 3.4, y 7.3 y Appendix A de Strang y capítulos 2.3-2.6 de Horn y Johnson.

10. Formas canónicas

• De Jordan.
• Polinomial mínima

Capítulo 3 de Horn y Johnson, Apéndice B de Strang, capítulo 9 de Nobel y Daniel, y capítulo 8 de Axler.

11. Álgebra lineal numérica: para desarrollo de algoritmos y programas de software (ejemplos con LAPACK y Matlab). En particular soluciones al problema cuadrático de valor propio (QEP) y su aplicación a problemas de ingeniería (e.g. FEM), estimación de número de condición, iteración Arnoldi, GMRES, iteración Lanczos, gradiente conjugada, precondicionamiento, etc.

Antes de clase. Debe leer y responder a las preguntas de las lecturas sugeridas antes de cada clase, por cuanto la clase magistral asumirá que las ha completado.

Sesiones de clase. Las sesiones de clase incluirán exposición magistral, preguntas de concepto y solución grupal de problemas.

Sesiones de estudio/tutoriales. Las sesiones de estudio incluirán problemas más largos y el uso de un lenguaje para la soluciones de sistemas matriciales (e.g. Matlab) para calcular, simular y visualizar resultados. Tendrá que traer su propio computador personal a estas sesiones.

Colaboración. Se promueve una cultura de trabajo en equipo, no de soluciones compartidas, así que debe escribir sus propias soluciones, en sus propias palabras. Debe listar quienes fueron sus colaboradores.

1. Sheldon Axler: Linear Algebra Done Right.
2. Ben Nobel, James Daniel: Applied Linear Algebra.
3. Roger Horn, Charles Johnson: Matrix Analysis.
4. Gilbert Strang: Linear Algebra and Its Applications.
5. David Lay: Linear Algebra and Its Applications (pregrado).
6. Gilbert Strang: Introduction to Linear Algebra (pregrado).
7. Lloyd Trefethen y David Bau: Numerical Lineal Algebra.
8. Leader, Jeffery J: Numerical Analysis and Scientific Computation.